kondybas

Кілька разів доводилося зтикатися з тим, що піполь не відчуває, як щось очевидне, теорему Больцано-Коші про проміжне значення. В одному з формулювань вона звучить так:
Якщо безперервна функція на відрізку має як додатні, так і від'ємні значення, то вона на тому ж відрізку має й нульове значення.
Неформальна ілюстрація: якщо ваш літак за час подорожі перебував як над водою, так і під водою, то був щонайменше один момент протягом цього часу, коли ваш літак перебував точно на рівні води.



Уявіть собі, що у вас є карта вашого міста в двох маштабах. Одна велика, детальна, в масштабі 1:1000, а друга мала, в масштабі 1:10000. Якщо малу карту довільним чином покласти на велику, з єдиною умовою, щоб всі точки малої карти були в межах карти великої, то завжди можна проколоти голкою обидві карти так, щоб дірки в них припали на одну й ту саму географічну точку. Це справедливе для будь-якого зміщення малої карти відносно великої, для будь-якого повороту, і навіть якщо малу карту прикласти до великої "лицем до лиця". Менш очевидно, що спільна точка буде існувати навіть тоді, коли малу карту буде складено удвоє-уп'ятеро-удвадцятеро. Ще більш нетривіальним є той факт, що верхню карту може бути зіжмакано у трьох вимірах у абсолютно довільний спосіб - спільна точка все одно існуватиме. І якось зовсім туго до людей доходить, що обидві карти можуть бути зіжмакані довільним чином - вони все одне матимуть спільну точку, аби лиш проекція однієї карти в напрямку голки повністю лежала в межах проекції іншої карти в тому ж напрямку.